Родился 2 июля 1968 года в Ульяновской области. Окончил Казанский финансово-экономический институт по специальности «экономист». Служил на Черноморском флоте. Трудовую деятельность Алимжан Абубекяров начал в Ульяновском отделении Сбербанка РФ, где прошёл все ступени профессионального роста — от старшего инспектора отдела вкладов, расчётов и ценных бумаг до заместителя директора операционного управления. В 2000 — 2007 годах создал и возглавлял компании «Магистраль» и «Транс-Контракт». В январе 2007 года распоряжением главы города Ульяновска Алимжан Абубекяров назначен директором МУП «Ульяновскэлектротранс». В 2008 году Абубекярову присвоено звание «Почётный работник жилищно-коммунального хозяйства России». Возглавляемое им предприятие удостоено первого места на всероссийском конкурсе как одно из лучших предприятий сферы ЖКХ в России.
В 2009 году МУП «Ульяновскэлектротранс» стало победителем областного конкурса как лучшее предприятие региона для работающих мам.